本文成功发表于阜阳师范学院学报(自然科学版) 2013年06月第2期，现将全文展示给大家参考和学习。
1点集测度与区间长度
现介绍关于区间体积的两个引理，只述而不证。
引理1若UIiUI'i(Ii与I'i皆为半开区间)，Ir∩Is=，I'r∩I's=(r≠s)，则Σ|Ii|≤Σ|I'i|，这里|Ii|，|I'i|分别表示Ii，I'i的体积。
引理2(区间体积加性定理)若I=UIi，Ir∩Is=(r≠s)，则|I|=Σ|Ii|。先就一维情形来讨论。
由于Ｒ1中开集恒可表为可列个互不相交的半开区间之并，故可得定义1设开集G=∪∞k=1Ik，Ik(k=1，2，…)为互不相交的半开区间，则它们的长度之和Σ∞k=1|Ik|称为G的勒贝格测度，简称L测度，记作mG=Σ∞k=1|Ik|。
由定义1，可知凡开集皆L可测，开区间当然L可测。
例1设I=(a，b〗，则开区间(I)=(a，b)的L测度等于I的长度，从而等于(I)的长度，简言之，开区间的L测度等于它的长度。
证设(I)=∪Jj，Jr∩Js=(r≠s)，取IN=a，b－(1]N，于是IN∪JjI，则由引理1，|I|≥Σ|Ji|≥|IN|= b－1N－aN→→∞b－a=|I|，故Σ|Jj|=|I|，即m(I)=|I|=|(I)|。由于开集与闭集的差集是开集，故可得:定义2设F为闭集，G为开集，且FG，则称mG－m(G－F)为F的L测度，即mF=mG－m(G－F)。
由定义2，可知凡闭集L皆可测，闭区间当然L可测。例2设I=(a，b］，则闭区间［I］=［a，b］的L测度等于I的长度，从而等于［I］的长度，简言之，闭区间的L测度等于它的长度。证令(IN)=a－1N，b+(1)N，则［I］(IN)，由定义2，m［I］=m(IN)－m((IN)－［I］)=m(IN)－m a－1N((，a)∪(b，b+1))N，而a－1N(，a)∩(b，b+1)N=，由引理2 m［I］=i，m(IN)－m a－1N((，a)+m (b，b+1))N，由例1 m［I］=b－a+2N－1N+(1)N=b－a=|I|=|［I］|。
定义3设EＲ1，则m*E=sup{mF|FE，F为闭集}及m*E=inf{mG|GE，G为开集}分别称为E的L内测度与L外测度。若m*E=m*E，则称E为L可测集，并称mE=m*E=m*E为E的L测度。
例3设半开区间I=(a，b〗，则I为L可测集，且mI=|I|。证令［I］=a+1N[，b]，(I)=(a，b+1)N，则m*E=sup{m［I］l［I］I}=sup m a+1N{[，b ]l［I］I}=sup b－a－1N{|［I］I}=b－a，m*E=inf{m(I)|(I)I}=inf m a，b+(1]N{l［I］I}=inf b－a+1N{|(I)I}=b－a，由定义3，I=(a，b］为L可测集，且mI=b－a=|I|。
综合例1，2，3，可得任何区间I都是L可测的，且mI=|I|。由此可知，Ｒ1中点集测度概念是区间长度概念的推广。n维空间Ｒ″中点集测度定义可类似引入，并也可证明区间测度等于其体积，从而可见，点集测度概念是区间体积概念的推广。特别地，Ｒ2中区间测度等于矩形面积，点集测度概念是矩形面积概念的推广，Ｒ3中区间测度等于长方形体体积，点集测度概念是长方体体积概念的推广。
2下方图形与曲边梯形下方图形也是实变函数中的一个重要概念，在教学中如果直接引入，可能会使部分学生觉得不好理解，难以接受。而曲边梯形是数学分析中的大家熟知的概念。如果从曲边梯形定义出发逐步推广得到下方图形定义，效果定会看好。
设f(x)为闭区间［a，b］上的连续函数［1］，且f(x)≥0。由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b以及x轴所谓成的平面图形，称为曲边梯形，也可称f(x)在［a，b］上的下方图形其实曲边梯形或下方图形，就是平面Ｒ2中的点集{(x，y)|x∈［a，b］，0≤y＜f(x)}。
若将［a，b］换成n维空间Ｒ″中的闭区间［a1，b1;a2，b2;…;an，bn］，则下方图形的一般情况的定义为:设f(x)=f(x1，x2，…，xn)为n维闭区间［a1，b1;a2，b2;…;an，bn］上的非负函数，则Ｒn+1中的点集{(x，z)|x=(x1，x2，…，xn)∈［a1，b1;a2，b2;…;an，bn］，0≤z＜f(x)}称为f(x)在［a1，b1;a2，b2;…;an，bn］上的下方图形。若再将n维闭区间换成一般n维点集E，则下方图形的定义，更一般情况，有:
定义4设f(x)=f(x1，x2，…，xn)，是在n维空间Ｒn中的一个点集E上定义的非负函数，则Ｒn+1中的点集{(x，z)|x=(x1，x2，…，xn)∈E，0≤z＜f(x)}称为f(x)在E上的下方图形，记作G(E，f)。
由上述可知，下方图形可看作是曲边梯形的推广，下方图形的测度mG(E，f)可视为曲边梯形面积的推广，从而又可由定积分的几何意义:在［a，b］上非负数函数f(x)的定积分，就是连续曲线y=f(x)≥0在［a，b］上形成的曲边梯形的面积。
推广得到非负可测函数L积分的几何意义:第2期胡绍宗:实分析中三个概念的教学处理91设f(x)为可测集E∈Ｒ″上的非负可测函数［2］，则∫Ef(x)dx=mG(E，f)。3凸集与凸多边形凸集是泛函分析中常用的一个重要概念，它比较抽象，对初学者不易理解，我认为可以从凸多边形定义讲起，然后过度到凸集定义，这样比较自然、直观，也不显得抽象了。具体来说，凸多边形是初等几何中常见的几何图形，为大家熟知的，它的含义即这样的多边形中，任意两点间连接线段都在形内。我们可以把凸多边形看作平面Ｒ2上封闭折线所围成的点集A，这样凸多边形可称为平面上凸集。摘自：学报投稿网http://www.xuebaotougao.com/
对于x=(x1，x2)，y=(y1，y2)∈Ｒ2以及a∈Ｒ1，规定x+y=(x1，x2)+(y1，y2)=(x1+y1，x2+y2)，ax=a(x1，x2)=(ax1，ax2)，则Ｒ2按上述运算成为线性空间，于是ax+(1－a)y=a(x1，x2)+(1－a)(y1，y2)=(ax1，ax2)+((1－a)y1，(1－a)y2)=(ax1+(1－a)y1，ax2+(1－a)y2)，因当a=0时，ax+(1－a)y=(y1，y2)，当a=1时，ax+(1－a)y=(x1，x2)，故当0≤a≤1时，点ax+(1－a)y总在联接x，y两点的线段上变动，即点集{ax+(1－a)y|0≤a≤1}为联接两点x，y的线段。
因此，凸多边形定义又可写成如下形式:设x，y为多边形A中任意两点，如果线段{ax+(1－a)y|0≤a≤1}都在A中，则称A为凸多边形(或平面上凸集)。一般情形，若A不限于多边形，而为Ｒ2中一般点集，很自然可述为:设x，y为A中任意两点，如果线段{ax+(1－a)y|0≤a≤1}都在A中，则称A为凸集。更一般情形，有:定义5设E为线性空间［3］，AE，如果对于A中的任意两点x，y，联接这两点的线段{ax+(1－a)y|0≤a≤1}都在A中，则称A为凸集。
上述对实分析中三个概念的处理方法，体现了我们在数学教学过程中应该遵循的普遍规律:由浅入深、由特殊到一般、由具体升发抽象。
本文通过对基于开源GIS软件的WebGIS系统架构与功能进行深入探讨和研究，选择PostGIS、Geoserver、GeoWebCache、OpenLayers等开源软件构建一个通用的型的WebGIS系统。本系统具有跨平台、松耦合、低成本、高稳定性等特点，能够满足一般WebGIS系统的信息发布、浏览、查询等功能，在中小企业和科研机构有较高的应用价值，可以为企业和科研机构节约大量财力、物力，同时系统的功能和性能也完全不逊于商业WebGIS软件开发的系统。
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